Троичная система счисления

• Использование троичной системы в задаче о разновесках.

• Фокус

• компьютеры

В 1840 году французский математиком и изобретателем механических вычислений Леоном Лаланном была предложена уравновешенная троичная система. Основанием этой системы служит число 3, но вместо цифр 0, 1 и 2 используются 0, 1 и -1 (обычно место "минус единицы" используется символ  ). По аналогии с битами двоичной системы счисления такие обозначения называются тритами.

    Сразу же можно заметить, что знак числа определяется первым ненулевым символом в его троичной записи. Если это 1, то число положительное, а если 1 , то отрицательное. Очень просто, поразрядно, выполняются в уравновешенной троичной системе сложение и вычитания:

Легко проверить, что 1-1-1-1-100₃ =369. Столь же просто производиться вычитание: для этого достаточно изменить знак вычитаемого на противоположный и сложить число с уменьшаемым. 
Умножение также сводится к простым операциям изменения знака и сложения.

Таблица умножения в уравновешенной троичной системе:

Умножим, например, 5=111₃  и 12 =110₃ 

3⁴-3³+3²-3=81-27+9-3=60

Задача Баше о весах

Интересно, что представление чисел в уравновешенной троичной системе неявно присутствует ещё в знаменитой "задаче Баше о весах" - которую, впрочем, Леонардо Пизанский (Фибоначчи) сформулировал за 400 лет до Баше, в XIII в. В задаче требуется на найти набор из четырёх гирь, с помощью которого можно взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг (или набор из трех для взвешивания любого груза весом от 1 до 13 кг - задача известна в разных вариантах). 

   Для решения задачи надо просто найти представление в уравновешенной троичной системе целого числа, равного весу груза. Пусть, например, надо взвесить груз в 33кг. Представим число 33 в уравновешенной троичной системе: 33= 27+9-3+0=1110 . Значит, гири 27 кг и 9 кг надо положить на одну чашу весов, а взвешиваемый груз и гирю 3 кг - на другую. Если к этим трём гирям добавить ещё одну весом 1 кг, то мы сможем взвесить любой груз, не превышающий 40 кг.

Более 100 лет после Лаланна уравновешенная троичная система не привлекала большого внимания учёных. Но когда на смену ранним механическим и электромеханическим вычислительным устройствам, основанным на десятичной системе счисления, стали приходить электронные компьютеры, она всерьёз рассматривалась как возможная альтернатива двоичной.
   

Троичная ЭВМ

Знаменитый американский специалист в области методов вычислений Дональд Кнут писал в 1969 году, что время троичной арифметики в компьютере наступит, если удастся найти замену триггеру ( логическая схема, имеющая два состояния и позволяющая хранить один бит информации). Однако задолго до выхода книги Кнута троичная система счисления уже была успешно применена в весьма интересной и оригинальной отечественной разработке. Речь идёт об ЭВМ "Сетунь", созданной в Вычислительном центре МГУ в 1959 году под руководством академика С. Л. Соболева и Н. П. Брусенцова. Начиная с 1962 года машина выпускалась серийно, и за 3 года было изготовлено около 50 экземпляр. Устройство на базе троичной арифметики оказались не только более простыми и быстрыми, но и весьма надёжными. Они также потребляли меньшую мощность, чем двоичные устройства, реализованные на тех же элементах.

...В чём особенность "Сетуни" ? Более простой машины, по - видимому, не было вообще. "Сетунь" имела всего лишь 24 команды. И это была машина с фиксированной и плавающей запятой. Возьмите современную RISC - архитектуру (Reduced Instruction Set Computer - компьютер с сокращённым набором команд). Почему же она Reduced, если используются сотни команд? Зачем столько?

Достоинством "Сетуни" являлось то, что все описание вмещалось в маленькой книжечки, причём доступные "простым смертным". Даже гуманитарии пользовались Сетунью самостоятельно.

В XII веки Раймонд Лулий создал логическую машину в виде бумажных кругов. Поразительно, но никто не замечает, что она троичная....

...В 1840 году англичанин Томас Фаулер создал вычислительную троичную машину на деревянных стержнях. Он так и не получил поддержки. Кстати, отсюда следует, что "Сетунь" не единственная троичная машина, как о ней часто говорят.

Арифметические операции над числами, записанными в этой системе, выполняются очень просто. Обладает она и другими достоинствами: запись числа  в ней короче, чем при использовании двоичной системы; нет необходимости вводить специальный знаковый разряд.