Действительное число

   Новое определение числа было сформулировано Ньютоном во "Всеобщей арифметике" (1707г.): "Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное". Такого определения действительного числа, позволяющего изучать непрерывные величины не посредством декартового исчисления отрезков, а с помощью непосредственных арифметических вычислений, требовало создаваемое дифференциальное и интегральное исчисление, в основе которого лежат идеи движения и изменения, а также, в частности, тесная связь геометрии с арифметикой.
Оно, не могло, однако, служить основой для строго логического обоснования теории действительных чисел, поскольку само понятие непрерывных величин, отношение которых Ньютон назвал числом, не только не было строго определено, но и было далеко не ясным, расплывчатым, смутным.

Дальнейшее развитие и обоснование понятие действительного числа могло получить лишь в XIX в., после того как Больцано, Коши и Вейерштрасс дали строгое определение предела и других основных понятий математического анализа. Усилившаяся во второй половине XIX в. тенденция к полной арифметизации анализа остро поставила вопрос о строгом определении непрерывности и действительности числа.

Первое такое определение и было изложено немецким математиком Рихардом Деденкином (1831- 1916 гг.) в работе "Непрерывность и иррациональные числа", опубликованной в 1872г. Она содержит всего 21 страницу, но вошла в историю математики как одно из классических произведений этой науки.