Об эволюции понятия числа

    Число- одно из основных понятий математики- зародилось в глубокой древности. Понятие о натуральном числе, возникшее в связи с практической необходимостью считать предметы, складывалось очень медленно. На протяжении веков это понятие постепенно подвергалось расширению и обобщению. Еще в V в. до н. э. в школе Пифагора было доказано, что множество рациональных чисел (Точнее, нуля, положительных чисел и дробных чисел, так как отрицательных чисел пифагорейцы не знали) недостаточно для точного измерения любых отрезков, т. е. было доказано существование несоизмеримых отрезков. К открытию несоизмеримости приводили, вероятно, попытки решения на первый взгляд таких простых задач, как нахождение длины стороны квадрата, площадь которого равна 2, или числа квадрат которого равен 2, и т. п.

Некоторые историки считают, что несоизмеримость отрезков открыл в середине V в. пифагореец Гиппас Метапонтский в поисках общей меры стороны правильного пятиугольника при построении "золотого сечения".

    Открытие несоизмеримых отрезков явилось источником большого кризиса в древнегреческой математике и в конечном итоге поворотным пунктом в ее развитии. Это открытие явно противоречило учению школы Пифагора, будто с помощью одних целых чисел и отношений между ними можно выразить любую величину. Вначале пифагорейцы старались держать в секрете новое открытие. Об этом рассказано в одной легенде, согласно которой Гиппас Метапонтский, открывший существование несоизмеримости, погиб во время кораблекрушения, будучи наказан богами за выдачу секрета.

    В конце V до н. э. Теодор Киренский (учитель Платона), продолжая дело Гиппаса, сумел доказать, что стороны квадратов, имеющих площади 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 квадратных единиц , тоже несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т. е. выражаясь современными терминами, иррациональны. Теодор был уже седовласым старцем, когда одно из его сообщений о несоизмеримых отрезках вызвало интерес у молодого афинского ученого Теэтета. Выслушав Теодора, Теэтет стал сам размышлять над проблемой и решил более общую задачу, доказав иррациональность √N для любого целого числа N, не являющегося полным квадратом. Теэтет первый предпринял классификацию некоторых типов иррациональностей.

    Убедившись в том, что существует бесчисленное множество отрезков и других геометрических величин, которые с помощью целых и дробных (вообще рациональных) чисел измерить нельзя, пифагорейцы не могли еще осознать необходимость расширения понятия числа, но сделали другой вывод: надо обосновать геометрию и алгебру не с помощью учения о числах (арифметики), а с помощью самой геометрии. Так возникла и развилась геометрическая алгебра.

    Древнегреческие математики стали представлять целые числа и любые величины, соизмеримые и несоизмеримые, геометрически, с помощью отрезков, прямоугольников и других фигур. Отсюда у них появились такие названия, как: 

	"плоские числа" для чисел вроде 6=2*3, 14=7*2, являющихся произведениями двух сомножителей и выражающих площадь прямоугольника, построенного на соответствующей паре отрезков;
	"квадратные числа": 4(=2*2), 81(=9*9) и т. д. Это название употребляется и поныне;
	"телесные числа": 24(=2*3*4), 210(=5*6*7) и т. д., являющие произведениями трех чисел и изображаемые с помощью параллелепипедов;
	"кубические числа": 8(=2*2*2), 125(=5*5*5) и т. п.

    На геометрический базе строил свою общую теорию отношений и пропорций крупный математик древности Евдокс Книдский (IV в. до н. э.). Глубокие идеи этой теории, изложенной в V книге "Начал" Евклида и содержащей по существу строгое учение о действительном положительном числе, смогли бы по достоинству оценены лишь во второй половине XIX в. Будучи неудобной с точки зрения нужд практики и алгебраического исчисления, эта теория на протяжении веков не оказывала почти никакого влияния на дальнейшее развитие понятия числа.

   В Древней Греции I - IV вв., в Индии и других странах Азии и в средневековой Европе продолжали господствовать наивные представления о числе и чисто практическая точка зрения, позволяющая заменять точное число его приближенным значением.