Геометрия Декарта

    Связанное с прогрессом экономики, торговли и астрономии, развитие вычислительной математики привело и европейских ученых XVI- XVII вв. к критике евклидова противопоставления понятия величины понятию числа и к расширению последнего до вещественного числа. В деле сближения евдоксовой общей теории отношений с учением о числе, геометрии с арифметикой, непрерывного с дискретным огромную роль сыграла "Геометрия" Декарта, выросшая из его концепции "универсальной математики", к которой следовало бы, по его мнению, отнести не только арифметику и геометрию, но и астрономию, механику, оптику, музыку. Декарт писал: "к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно будут ли эти числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое". В своей аналитической геометрии Декарт изучает различные кривые как линии, получаемые движением точек: последние же определяются координатами- числами, выступающими в роле переменных величин.

    Для ликвидации разрыва между понятием непрерывной величины и понятием числа Декарт выражает любую величину отрезком прямой, обозначаемой буквой a. Но в отличии от установок "геометрической алгебры" a² , a³ ,... тоже представляют собой отрезки. Вводя единичный отрезок, он каждому арифметическому действию над числами ставит в соответствие геометрическую операцию (построение) с отрезками. В частности, произведение c двух отрезков a, b но находит путем построения четвертого пропорционального к трем данным:  a, b, 1 (1:a=b:с). Так же находится и частное d  двух отрезков: a, b (a: b=b:с). Извлечению корня соответствует построение одной или нескольких средних пропорциональных между данными и единичными отрезками; например, если дан отрезок a, то способ построения отрезка x=/a находим из пропорции 1:x=a:x, в которой x является средним пропорциональным. Таким образом, рассматривая каждое вещественное число как отрезок, вводя отрезок- единицу исчисления отрезков и давая наглядную интерпретацию отрицательных чисел, Декарт фактически заполнил разрыв между понятиями числа и геометрической величины и открыл путь к полному признанию как иррациональных чисел, так и отрицательных чисел, к обобщению понятия числа и к новому его определению.