|
d-ичные системы счисления
Пусть d -
некоторое натуральное число, большее 1. Примем это
число за основание
d-ичной системы. Для записи любого натурального
числа в такой системе требуется всего d цифр - ими
обозначаются нуль и первые d-1 натуральных чисел -
от 1 до d-1. Пусть запись натурального числа а
в d-ичной системе - строка из n цифр
аn-1an-
2...а1а
Тогда
a=an-1an-2...а1а0=аn-1dn-1+an-2dn-2+...+a1d+a0.
Как правило, мы
будем указывать индексом возле записи основание
системы счисления (если оно отлично от 10).
Проверте
следующие равенства:
 |
1324=142+34+2=30 |
|
|
10023=133+2=29 |
|
|
7778783+782+7=84-1=4095 |
Числа d, d2,
d3 , ... в d-ичной системе записываются
как 10, 100, 1000, ... . Ниже в таблице показаны
записи чисел от 1 до 10 внекоторых системах.
|
d=10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
d=8 |
1
|
2
|
3 |
4
|
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
d=5 |
1
|
2
|
3 |
4
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
|
d=3 |
1
|
2
|
10 |
11 |
12 |
20 |
21 |
22 |
100 |
101 |
|
d=2 |
1
|
10 |
11 |
100 |
101 |
110 |
111 |
1000 |
1001 |
1010 |
Если основание
d не превосходит 10, мы используем в качестве цифр
первые d цифр десятичной системы: скажем, для d=3
это цифры 0, 1, 2; для d=8 - 0, 1, 2, ...., 7.
Если же d>10, то нужны еще специальные знаки для
"цифр"10, 11, ..., d-1:
например, при d=16 для новых цифр (от 10 до 15)
будем использовать буквы A,B,С,Е,F. Тогда
1Е16=1*16+14=30: FFF16=15*162+15*16+15=4095.
Из формулы (1)
мы видим, что подсчет числа по его d-ичной записи -
это просто вычисления значения многочлена
Р(x)=аn-1xn-1+аn-2хn-2+...+а1х-а0
при х=d, где
цифры играют роль коэффициентов этого многочлена.
Если нужно
перевести много чисел из какой-то одной, скажем
восьмеричной, системы в десятичную, удобно заранее
подсчитать степени основания системы: 1=80,
8,82, 83 и т.д. Но если речь
идет о подсчете одного какого-то числа, то проще
действовать так:
31758=3*83+1*82+7*8+5=((3*8+1)
8+7) 8+5=1661.
Этот способ
требует меньше действий: вычисление значения
многочлена по схеме:
Р(х)=(...(аn-1x+an-2)x+...+a1)x+a0
требует всего
n-1 умножений: а если считать его "в лоб" - сначала
найти все степени х2, х3,
..., хn-1,
а потом уже а1*х,...,аn-1*хn-1,
потребуется 2n-3 умножений (да к тому же
придется запоминать промежуточные результаты
вычислений).
Итак, мы
видели, что очень просто перейти от d-ичной записи
числа к обычной, десятичной записи.
|
