Простые числа. Определение, примеры.

    Некоторые отличные от 1 числа натурального ряда могут быть разложены в произведение общих множителей. Например:

6=2*3,         8=2*2*2,         111=3*37.

    Такие числа называются составными. Составные числа не исчерпывают весь натуральный ряд. Нельзя разложить на меньшие множители 2 и 3, 5 и 7 (что было установлено нами ранее), а также числа 239, 701 и многие другие. Подобные числа, т. е. числа, которые нельзя разложить в произведение меньших множителей, называются простыми.

   Самое маленькое натуральное число 1, конечно, не раскладывается в произведение еще меньших множителей. Но 1 находится на особом положении, ведь она делит каждое натуральное число. Считают, что 1 не есть простое число.

    Таким образом, 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Любое же большее 1 натуральное число является или простым, или составным. Среди четных чисел имеется единственное простое- 2. Все остальные простые числа нечетны.

    Интерес к простым числам, возникший в глубокой древности, вероятно еще в школе Пифагора (V в. до н. э.), объясняется тем, что из них с помощью умножения можно построить все натуральные числа. С другой стороны, простые числа обладают рядом загадочных свойств, в течение тысячелетий побуждавших исследователей на многочисленные и часто безуспешные попытки проникновения в их тайны.

    Среди первых 1000 чисел, записываемых одними единицами, простыми будут только

    Будет простым число

    а также числа

2¹+1=3, 2²+1=5, 2⁴+1=17,

2⁸+1=257, 2¹⁶+1=65537, 2²-1=3,

2³-1=7, 2⁵-1=31, 2⁷-1=127, 2¹³-1=8191.

    В начале XVII в. было установлено, что 2¹⁷-1 и 2¹⁹-1 просты. В 1722 г. Л. Эйлер после многолетних безуспешных попыток доказал, что 2³¹-1 простое число. К началу нашего века стало известно, что простыми являются числа 2⁸⁹- 1 и 2¹⁰⁷- 1. Нужно сказать, что все вычисления с этими числами проводились вручную и требовали не только аккуратности, но и большой изобретательности, ведь, например, число 2¹²⁷ - 1 записывается 39 цифрами.

    С появлением в 50-е годы нашего века ЭВМ наступила новая эпоха в поисках простых чисел. Было найдено еще 18 простых чисел  2ⁿ - 1. Самые большие из них и вообще самые большие из известных простых чисел- это

2¹³²⁰⁴⁹-1 и 2²¹⁶⁰⁹¹-1.

    Они были открыты в 1983 и 1985 гг.

    Простые числа ведут себя совершенно не предсказуемо. Они могут собираться группами, как, например,

17 и 19, 41 и 43, 9*2²¹¹+1, 291*2¹⁵⁵³+1.

    Такие пары соседних простых чисел называются близнецами

Предполагается, что их бесконечно много. Среди 150000 последовательных чисел, первое из которых есть 10⁸, имеется 601 пара близнецов. В натуральном ряде есть скопления по три числа, например 3163, 3167, 3169 или 32713, 32717, 32719,
а вместе с тем и сколь угодно длинные отрезки, не содержащие простых чисел вообще.