Простые числа. Бесконечность ряда простых чисел

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

    Докажем эту теорему. Предположим, что утверждение неверно, т. е. простые числа образуют конечное множество и P - самое большое из них.

    Рассмотрим число  N=2*3*5*...*P+1,

где в произведении участвуют все простые числа. Число N при делении на 2, 3, 5 и вообще на любое число имеет остаток 1. В то же время наименьший, отличный от 1 делитель q числа N, как указывалось выше, есть простое число. Но число N не может одновременно делится на q и иметь при делении на q остаток 1. Полученное противоречие означает, что самого большого простого числа не существует.

    Количество простых чисел на отрезке натурального ряда от 1 до N очень быстро возрастает с увеличением N:

    Третий столбец этой таблицы показывает, какую долю в процентах составляют простые числа среди всех натуральных не превосходящих N. Доля эта с ростом N снижается, хотя, как показывает второй столбец, общее количество простых чисел стремительно нарастает. Если вы умножите показатель n числа N=10² на отвечающую ему долю простых чисел в процентах, то увидите, что произведение с увеличением n приближается к некоторому числу. К сожалению, в настоящее время приведенную таблицу нельзя продолжить далее, тем не менее в 1896 г. было доказано, что это число есть

43, 429448190325182765...,

причем его можно вычислить с любой нужной точностью.